দ্বিপদীয় (Quadratic) সমীকৰণ — ক্লাস ১০
এই পাঠত আমি ধাপে ধাপে শিকিম, কেনেকৈ দ্বিপদীয় সমীকৰণ (Quadratic Equations) কাম কৰে। সহজ অসমীয়াত বুজোৱা হৈছে। প্ৰতিটো উদাহৰণ ধাপে ধাপে ব্যাখ্যা কৰা হৈছে, যাতে ছাত্ৰ-ছাত্রী সহজে বুজিব পাৰে।
সূচী
সংজ্ঞা
দ্বিপদীয় সমীকৰণ হৈছে এক ধৰণৰ বহুপদী (polynomial) য’ত সৰ্বাধিক ঘাত ২। সাধাৰণ ৰূপ: ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)
উদাহৰণ: 2x² - 3x + 1 = 0
দ্বিপদীয় সমীকৰণ জীৱন আৰু বিজ্ঞানত বহুবিধ প্ৰয়োগ আছে — physics, engineering, অর্থনীতি আৰু দৈনন্দিন সমস্যাৰ সমাধান।
মান (Standard) ৰূপ
যিকোনো দ্বিপদীয় সমীকৰণক সহজে সমাধান কৰিবলৈ মান ৰূপত আনা হয়: ax²+bx+c=0. উদাহৰণ:
x²-4x+4=03x²+7x-6=0
মৌলিক চিন্তা: Standard form ৰ জড়িয়তে সমাধান পদ্ধতি অধিক সহজ আৰু বোধগম্য হয়।
ঘাটনাৰ (Factorization) পদ্ধতি
ঘাটনা পদ্ধতি হৈছে সমীকৰণক product of linear factors ৰূপে ভাগ কৰা। যদি সমীকৰণ সহজে ভাগ হয়, এই পদ্ধতি অত্যন্ত সুবিধাজনক।
উদাহৰণ ১: x²+5x+6=0
ধাপ ১: সংখ্যা বিচাৰিবা যাৰ গুণফল 6 আৰু যোগফল 5 → 2 আৰু 3।
ধাপ ২: ভাগ কৰক → (x+2)(x+3)=0
ধাপ ৩: x=-2 বা x=-3
উদাহৰণ ২: 6x²+11x+3=0
ধাপ ১: Multiply a*c=6*3=18 → pair of numbers whose product=18 and sum=11 → 2 and 9
ধাপ ২: Split middle term: 6x²+2x+9x+3=0
ধাপ ৩: Grouping: (6x²+2x)+(9x+3)=0 → 2x(3x+1)+3(3x+1)=0
ধাপ ৪: Factor: (2x+3)(3x+1)=0 → x=-3/2, x=-1/3
Quadratic Formula (সূত্ৰ)
যদি ঘাটনা সহজ নহয়, তেন্তে formula ব্যৱহাৰ কৰক:
x = (-b ± √(b²-4ac)) / (2a)
এতিয়া এই formula ব্যৱহাৰ কৰি উদাহৰণসমূহ দেখিম।
ডিসক্রিমিনেণ্ট (b²-4ac)
D = b²-4ac। Dৰ ওপৰত ভিত্তি কৰি ফলাফল:
- D>0 → 2টা ভিন্ন বাস্তৱ মূল
- D=0 → 2টা সমান মূল
- D<0 → বাস্তৱ মূল নাই, কল্পনাত্মক মূল
ডিসক্রিমিনেণ্টৰ সাহায্যে ছাত্ৰ-ছাত্রীয়ে আগতকৈ সহজে সমাধান আগবঢ়াব পাৰে। উদাহৰণ: x²+2x+5=0 → D=-16 → কল্পনাত্মক মূল।
উদাহৰণসমূহ (Step-by-step)
উদাহৰণ ১: 3x²-6x+3=0 → D=0 → x=1 (double root)
উদাহৰণ ২: 2x²+3x-2=0 → D=25 → x=1/2 বা x=-2
উদাহৰণ ৩: x²-4x-5=0 → Factor: (x-5)(x+1)=0 → x=5, x=-1
উদাহৰণ ৪: 5x²+6x+1=0 → D=16 → x=-1/5 বা x=-1
অনুশীলনী প্ৰশ্ন
x²-7x+10=0→ Factor: (x-5)(x-2)=0 → x=5 বা x=2। হে বন্ধু! 2 আৰু 5 মিলি 10 দিব আৰু 7 যোগফল দিব। Bravo! 👏x²-5x+6=0→ Factor: (x-3)(x-2)=0 → x=3 বা x=2 🎉 সহজ আৰু মিঠা ধেমালি।3x²-2x-8=0→ Factor: (3x+4)(x-2)=0 → x=-4/3 বা x=2। Step by step আগবাঢ়া হোক, math magic! ✨6x²+11x+3=0→ Factor: (2x+3)(3x+1)=0 → x=-3/2 বা x=-1/3 🥳 Grouping কৰি ধেমালি কৰা।2x²-3x-2=0→ Factor: (2x+1)(x-2)=0 → x=-1/2, x=2 ✅ সহজ আৰু clean!5x²+6x+1=0→ Quadratic Formula: x=(-6±√16)/10 → x=-1/5 বা x=-1 🍋 formula easy!2x²+3x-2=0→ Quadratic Formula: x=(-3±√25)/4 → x=1/2 বা x=-2 ✨ simple magic!4x²-4x+1=0→ Quadratic Formula: x=1/2 (double root) 🎈 cozy root!x²+3x+2=0→ Factor: (x+1)(x+2)=0 → x=-1, x=-2 🍭 sweet and easy!3x²+2x-1=0→ Quadratic Formula: x=(-2±√16)/6 → x=1/3, x=-1 🎊 super simple!x²+4x+5=0→ Discriminant D=-4 → No real roots, imaginary friends! 😉 fun with i.2x²+3x+7=0→ D=-47 → Complex roots, x=-3/4 ± i√47/4 🎩 playful math!5x²+6x+10=0→ D=-104 → Complex roots, x=-3/5 ± i√26/5 🌟 magic numbers!x²+2x+8=0→ D=-28 → Complex roots x=-1 ± i√7 🧙 fun & mysterious!4x²+4x+5=0→ D=-64 → x=-1/2 ± 2i 🤩 lively complex roots!x²+5x-24=0→ Factor: (x+8)(x-3)=0 → x=-8 বা x=3 🎯 numbers game!2x²-7x+3=0→ Quadratic Formula: x=3 বা x=1/2 🎉 hooray math solved!x²+x-6=0→ Factor: (x+3)(x-2)=0 → x=-3 বা x=2 🍬 easy peasy!3x²-8x+4=0→ Quadratic Formula: x=2 বা x=2/3 ✅ perfect match!4x²-4x+1=0→ double root x=1/2 🛋️ cozy math hug!